「メール転送と POP/IMAP」の「転送:」設定で転送するとフィルター機能を有効にしていてもすべてのメールが転送されてしまう。
これをフィルタリングにより不要なメールを受信ボックスから移動、削除後、残ったメールのみ転送する設定の方法を記載。

設定　>>　フィルタ
「新しいフィルタを作成」
「キーワード:」に「in:inbox」と記入し「次のステップ」警告が出るがそのまま「OK」
「次のアドレスに転送する:」にチェックを付け転送先アドレスを選択。ない場合は「転送先アドレスを管理」から作成する。
その他必要な所にチェックを付け「フィルタを更新」をクリック

このフィルタが一番最後になるようにする。
他のフィルタを追加するとそれが一番最後に来るのでその場合はこのフィルタを「編集」から再度更新しなおし、一番最後に持ってきます。ちょっと面倒だけど。。